Как выразить скалярное произведение

Как замечательно придумать, как выразить скалярное произведение?​

Скалярное произведение, также известное как внутреннее произведение, двух векторов a\mathbf{a}a и b\mathbf{b}b в пространстве можно выразить следующим образом:

1. Алгебраическое определение: Для векторов a=(a1,a2,…,an)\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)a=(a1,a2,…,an) и b=(b1,b2,…,bn)\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)b=(b1,b2,…,bn), скалярное произведение вычисляется как:
   
   a⋅b=a1b1+a2b2+…+anbn\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_na⋅b=a1b1+a2b2+…+anbn
2. Геометрическое определение: Скалярное произведение также можно выразить через угол θ\thetaθ между векторами:
   
   a⋅b=∥a∥∥b∥cos⁡(θ)\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos(\theta)a⋅b=∥a∥∥b∥cos(θ)Здесь ∥a∥\|\mathbf{a}\|∥a∥ и ∥b∥\|\mathbf{b}\|∥b∥ — длины векторов.
   

Эти два подхода взаимосвязаны: используя их, можно понять, как векторы взаимодействуют как алгебраически, так и геометрически.